Exemple complet : reconnaître un triangle isocèle

Application

Soient $A(z_A=1+i)$, $B(z_B=-1+i)$ et $C(z_C=3i)$ trois points du plan complexe $(P)$ muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u,\vec v)$.

1. Calculer les longueurs des côtés du triangle $ABC$.
2. En déduire la nature du triangle $ABC$.

Correction

1. Longueurs des côtés :

$AB = |z_B-z_A| = |-1+i-(1+i)| = |-2| = 2$

$AC = |z_C-z_A| = |3i-(1+i)| = |-1+2i| = \sqrt5$

$CB = |z_B-z_C| = |-1+i-3i| = |-1-2i| = \sqrt5$

2. Nature du triangle $ABC$ :

On a $CB = AC = \sqrt5$, d'où : le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.