Comparer deux côtés avec un quotient de modules

Dans

$$\left|\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right|,$$

le numérateur mesure $AB$ et le dénominateur mesure $AC$. Le quotient compare donc directement les deux longueurs.

Propriété

Soient $z_A = x_A+y_Ai$, $z_B = x_B+y_Bi$ et $z_C = x_C+y_Ci$ les affixes des points $A$, $B$ et $C$, avec $z_A \neq z_C$.

$AB = |z_B-z_A| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$\left|\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right| = \frac{AB}{AC}$

Donc, si $\left|\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right| = \dfrac{AB}{AC} = 1$, alors le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.