Vecteur, milieu et alignement : trois traductions

Une soustraction d’affixes représente un déplacement :

$$z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.$$

Cette seule formule explique ensuite le milieu et le critère d’alignement.

Propriétés des affixes

Soient $A(z_A)$, $B(z_B)$, $C(z_C)$ et $I(z_I)$ trois/quatre points du plan complexe $(P)$.

• Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$.

• Le vecteur $k\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $k(z_B - z_A)$.

• Le point $I$ milieu de $[A,B]$ a pour affixe $z_I = \dfrac{z_A+z_B}{2}$.

• $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ ($k \in \mathbb{R}$), c'est-à-dire $z_C - z_A = k(z_B-z_A)$, ou encore $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = k \in \mathbb{R}$

  d'où les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés (avec $z_B - z_A \neq 0$).

Comment choisir la bonne formule ?

• on demande un vecteur : calcule arrivée moins départ ;
• on demande un milieu : fais la moyenne des affixes ;
• on demande un alignement : montre qu’un quotient de vecteurs est réel.