Quotients guidés, ligne par ligne

Exemple principal

Avec $z=1+5i$ et $z'=2-3i$ :

$$\frac1{z'} =\frac1{2-3i}\times\frac{2+3i}{2+3i} =\frac{2+3i}{13} =\frac2{13}+\frac3{13}i.$$

Pour le quotient :

$$\frac{1+5i}{2-3i} =\frac{(1+5i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}.$$

Le dénominateur vaut $13$ et

$$(1+5i)(2+3i) =2+3i+10i+15i^2 =-13+13i.$$

Donc

$$\boxed{\frac{1+5i}{2-3i}=-1+i}.$$

Deux autres applications

$$\frac1{1+3i} =\frac{1-3i}{(1+3i)(1-3i)} =\frac1{10}-\frac3{10}i,$$ $$\frac{2+3i}{5-i} =\frac{(2+3i)(5+i)}{26} =\frac{7+17i}{26} =\frac7{26}+\frac{17}{26}i.$$