Un complexe, c’est deux réels rangés ensemble

La forme

$$z=a+bi$$

contient deux informations indépendantes : le réel $a$ et le réel $b$. Pense à une paire ordonnée $(a,b)$ écrite avec le symbole $i$.

Vocabulaire et notation

• Les nombres $1+i$ et $1-i$ sont appelés nombres complexes.
• En général, un nombre complexe s'écrit sous la forme $z = a + bi$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$.
• Le nombre complexe $z' = a - bi$ (avec $a, b \in \mathbb{R}$) est appelé le conjugué de $z$, noté $\bar z$, d'où $\bar z = a - bi$.

Exemple : $z = 2+5i$ et $z' = -7-3i \Rightarrow \bar z = \overline{2+5i} = 2-5i$ et $\bar{z'} = \overline{-7-3i} = -7+3i$.

• L'écriture $z = a+bi$ (avec $a,b \in \mathbb{R}$) est appelée écriture (ou forme) algébrique de $z$.
• Le réel $a$ est appelé la partie réelle, notée $\mathrm{Re}(z) = a$. Exemple : $\mathrm{Re}(2+3i) = 2$.
• Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire, notée $\mathrm{Im}(z) = b$. Exemple : $\mathrm{Im}(2+3i) = 3$.

Définition

Un nombre complexe est un nombre dont l'écriture est de la forme $z = a+bi$ avec $a$ et $b$ réels, $i$ étant un nombre imaginaire tel que $i^2 = -1$.

L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}$ est muni des deux opérations addition $+$ et multiplication $\times$, qui ont les mêmes propriétés que dans $\mathbb{R}$ (commutativité, associativité, ...).

Attention. Dans $a+bi$, la partie imaginaire est $b$, pas $bi$.