Pourquoi inventer un nouveau nombre ?

Dans $\mathbb R$, un carré est toujours positif ou nul. L’équation

$$x^2=-1$$

semble donc impossible. Le chapitre commence par un seul geste : agrandir l’ensemble des nombres en introduisant $i$ avec $i^2=-1$.

Lis l’activité comme une construction, pas comme une formule à apprendre.

Activité

1. On considère l'équation $x \in \mathbb{R} : x^2 + 1 = 0$.

Cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$. Cela impose au mathématicien d'utiliser un nombre $i$ qui n'est pas réel mais un nombre imaginaire tel que : $i^2 = (-i)^2 = -1$

Par suite, l'équation admet deux solutions $i$ et $-i$, mais dans un autre ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$, tel que $\mathbb{C}$ est muni des deux opérations addition notée $+$ et multiplication notée $\times$, qui ont les mêmes propriétés que dans $\mathbb{R}$.

2. On considère l'équation : $(E) : x^2 - 2x + 2 = 0$

• Vérifie que l'équation $(E)$ s'écrit sous la forme : $(E) : (x-1)^2 + 1 = 0$
• Vérifie que $1+i$ et $1-i$ sont solutions de $(E)$.

Idée clé : introduire $i$ tel que $i^2 = -1$ permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solution réelle.

Le film en trois images

1. Dans $\mathbb R$, $x^2+1=0$ n’a pas de solution.
2. On définit $i$ par $i^2=-1$.
3. Dans $\mathbb C$, les solutions deviennent $i$ et $-i$.

Pour $(x-1)^2=-1$, on obtient de la même façon

$$x=1+i\quad\text{ou}\quad x=1-i.$$