Écriture complexe d’une rotation

Propriété

• L'écriture complexe de la rotation $f = r(\Omega,\theta)$ de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ est : $z'-\omega = e^{i\theta}(z-\omega) \qquad\text{ou bien}\qquad z' = ze^{i\theta}+b \quad\text{avec } b = \omega-\omega e^{i\theta} \in \mathbb{C}$

• Toute transformation $f$ dans le plan complexe qui transforme $M(z)$ au point $M'(z')$ tel que $z' = az+b$ avec $a\neq1$ et $|a|=1$ (ou $z' = ze^{i\theta}+b$) est une rotation :

  • de centre le point $\Omega(\omega)$, $\Omega$ étant un point invariant par $f$, c'est-à-dire $\omega = a\omega+b$ (ou $\omega = e^{i\theta}\omega+b$), d'où : $\omega = \frac{b}{1-a} \quad\text{ou}\quad \omega = \frac{b}{1-e^{i\theta}}$
  • d'angle $\arg(a)\ [2\pi]$ (ou $\theta \equiv \arg(e^{i\theta})\ [2\pi]$), ou encore $\theta \equiv \arg\left(\dfrac{z'-\omega}{z-\omega}\right)\ [2\pi]$.

Le coefficient $e^{i\theta}$ a un module égal à $1$ : il ne change donc pas la distance au centre. Son argument $\theta$ est exactement l’angle de la rotation.