Écriture complexe d’une homothétie

Propriété

• L'écriture complexe de l'homothétie $f = h(\Omega,k)$ de centre $\Omega$ et de rapport $k$ non nul et différent de $1$ ($k \in \mathbb{R}\setminus\{0,1\}$) est : $z'-\omega = k(z-\omega) \qquad\text{ou bien}\qquad z' = kz+b \quad\text{avec } b = \omega-k\omega \in \mathbb{C}$

• Toute transformation $f$ dans le plan complexe qui transforme $M(z)$ au point $M'(z')$ tel que $z' = kz+b$ est une homothétie :

  • de centre le point $\Omega(\omega)$, $\Omega$ étant un point invariant par $f$, c'est-à-dire $f(\Omega)=\Omega$ ou $\omega = k\omega+b$, d'où $\displaystyle \omega = \frac{b}{1-k}$
  • de rapport $k \in \mathbb{R}\setminus\{0,1\}$.

La forme centrée est la plus lisible :

$$z'-\omega=k(z-\omega).$$

Elle dit directement : même centre $\Omega(\omega)$ et rapport réel $k$.