Exemple : retrouver centre et rapport

Application

On considère la transformation $f$ qui associe à tout point $M(z)$ de $(P)$ d'affixe $z$ le point $M'(z')$ de $(P)$ d'affixe $z'$ tel que : $z' = 2z+1+i$

1. Nature de la transformation $f$ :

L'écriture complexe de $f$ est de la forme $z' = kz+b$, d'où $f$ est une homothétie de rapport $k=2$ et de centre le point $\Omega(\omega)$, $\Omega$ étant un point invariant par $f$, c'est-à-dire : $\omega = 2\omega+1+i \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{1+i}{1-2} = -1-i$

Conclusion : la transformation $f$ est une homothétie de rapport $k=2$ et de centre le point $\Omega$ d'affixe $\omega = -1-i$, ou encore $f = h(\Omega_{(-1-i)},2)$ (le centre est le point de coordonnées $(-1,-1)$).