Exemple guidé : linéariser $cos^3x$

Application : linéariser $\cos^3 x$

D'après la formule d'Euler : $\cos\alpha = \dfrac{z+\bar z}{2} = \dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}$, d'où :

$\cos^3 x = \left(\frac{z+\bar z}{2}\right)^3 = \frac{1}{2^3}(z+\bar z)^3 = \frac{1}{8}\left(z^3+3z^2\bar z+3z\bar z^2+\bar z^3\right)$

$= \frac{1}{8}\left(z^3+\bar z^3+3z\bar z(z+\bar z)\right)$

$= \frac{1}{8}\big(2\cos3x+3\times1\times2\cos x\big) = \frac{1}{4}\cos3x+\frac{3}{4}\cos x$

Conclusion

$\boxed{\cos^3 x = \frac{1}{4}\cos3x+\frac{3}{4}\cos x}$

équivalent à $4\cos^3x = \cos3x+3\cos x$.

Note : le document source affichait cette conclusion sous la forme condensée « $\cos^3x = 2\cos3x+6\cos x$ », qui contient une coquille de transcription. La forme encadrée ci-dessus est l'identité correcte et vérifiable (teste $x=0$ : $1 = \tfrac14+\tfrac34$ ✓).

Le résultat à contrôler est

$$\boxed{\cos^3x=\frac{\cos3x+3\cos x}{4}}.$$

À $x=0$, les deux membres valent $1$ : ce test rapide confirme les coefficients.