Retrouver sinus et cosinus avec Euler

Démonstration

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On pose $z = [1,\alpha] = \cos\alpha+i\sin\alpha$, un nombre complexe de module $1$ et d'argument $\alpha$.

Donc $z = \cos\alpha+i\sin\alpha = e^{i\alpha}$, d'où :

$\left.\begin{aligned} z &= \cos\alpha+i\sin\alpha = e^{i\alpha}\\ \bar z &= \cos\alpha-i\sin\alpha = e^{-i\alpha} \end{aligned}\right\} \iff \begin{cases} z+\bar z = 2\cos\alpha = e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\\ z-\bar z = 2i\sin\alpha = e^{i\alpha}-e^{-i\alpha} \end{cases}$

$\iff \begin{cases} \cos\alpha = \dfrac{z+\bar z}{2} = \dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2}\\[6pt] \sin\alpha = \dfrac{z-\bar z}{2i} = \dfrac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i} \end{cases}$

Théorème — formules d'Euler

$\boxed{\cos\alpha = \frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2} \qquad\qquad \sin\alpha = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}}$