Multiplier : les longueurs se multiplient, les angles s’ajoutent

Activité

$z$ et $z'$ deux complexes non nuls tels que : $z = [r,\alpha] = r(\cos\alpha+i\sin\alpha) \qquad z' = [r',\alpha'] = r'(\cos\alpha'+i\sin\alpha')$

Le produit $z\times z'$ :

$z\times z' = r(\cos\alpha+i\sin\alpha)\times r'(\cos\alpha'+i\sin\alpha')$ $= rr'\big(\cos\alpha\cos\alpha'+\cos\alpha\, i\sin\alpha'+i\sin\alpha\cos\alpha'+i\sin\alpha\, i\sin\alpha'\big)$ $= rr'\big((\cos\alpha\cos\alpha'-\sin\alpha\sin\alpha')+i(\cos\alpha\sin\alpha'+\sin\alpha\cos\alpha')\big)$ $= rr'\big(\cos(\alpha+\alpha')+i\sin(\alpha+\alpha')\big)$ $= [rr',\alpha+\alpha']$

On retrouve ici les formules d'addition de la trigonométrie.

Cette activité est la raison pour laquelle la forme trigonométrique est si efficace : elle transforme une multiplication complexe en deux opérations simples.