Application : le plan horizontal z = m par trois méthodes

Les trois méthodes doivent conduire à la même équation. La méthode du vecteur normal est ici la plus courte ; le déterminant explique aussi la coplanarité.

Enonce. On considere le plan passant par $A(0,0,m)$ et dirige par $\vec{i}$ et $\vec{j}$ (note $P(A,\vec{i},\vec{j})$), avec $m\in\mathbb{R}$. Determiner son equation.

Remarque. Le cas $m=0$ redonne le plan $P(O,\vec{i},\vec{j})$, d'equation $z=0$.

1re methode (coplanarite / determinant). $M(x,y,z)\in(P)\iff \vec{AM},\ \vec{i}\ \text{et}\ \vec{j}\ \text{sont coplanaires}\iff \det(\vec{AM},\vec{i},\vec{j})=0$

\iff x\begin{vmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{vmatrix}-y\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{vmatrix}+(z-m)\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix}=0$$ $$\iff 0-0+(z-m)=0 \iff z-m=0$$ **2e methode (vecteur normal).** Le repere etant orthonorme, $\vec{k}(0,0,1)$ est normal a $P(A,\vec{i},\vec{j})$. L'equation est donc de la forme $0\times x+0\times y+1\times z+d=0$, soit $z+d=0$. Or $A(0,0,m)$ appartient au plan, donc $m+d=0$, d'ou $d=-m$. **3e methode (produit scalaire).** $$M(x,y,z)\in(P)\iff \vec{AM}\cdot\vec{k}=0 \iff \begin{pmatrix} x-0\\ y-0\\ z-m \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}=0$$ $$\iff (x-0)\times 0+(y-0)\times 0+(z-m)\times 1=0 \iff z-m=0$$ **Conclusion.** L'equation du plan $P(A,\vec{i},\vec{j})$ est $\ z=m$.