Bilan final : une résolution complète

Résoudre

$$y''+2y'+5y=0.$$

Correction

L’équation caractéristique est $r^2+2r+5=0$. On a

$$\Delta=2^2-4\times5=-16<0.$$

Les racines sont

$$r=-1\pm2i.$$

Ainsi $p=-1$ et $q=2$, donc

$$\boxed{f(x)=e^{-x}\big(\alpha\cos(2x)+\beta\sin(2x)\big)}, \qquad \alpha,\beta\in\mathbb R.$$