Pourquoi apparaît une équation en r ?

On cherche d’abord des solutions de la forme

$$y=e^{rx}.$$

Alors

$$y'=re^{rx},\qquad y''=r^2e^{rx}.$$

En remplaçant dans $y''+ay'+by=0$ :

$$r^2e^{rx}+are^{rx}+be^{rx}=0,$$

donc

$$e^{rx}(r^2+ar+b)=0.$$

Comme $e^{rx}$ n’est jamais nul, il reste

$$\boxed{r^2+ar+b=0}.$$