Cas Δ = 0 : ne pas oublier le facteur x

Si $\Delta=0$, l’équation caractéristique possède une racine double

$$r_0=-\frac a2.$$

Une seule exponentielle $e^{r_0x}$ ne suffit pas pour produire toute la famille du second ordre. La deuxième solution indépendante est $xe^{r_0x}$. Ainsi,

$$\boxed{f(x)=(\alpha x+\beta)e^{r_0x}}.$$

Le facteur $x$ est obligatoire.