Définition : équation caractéristique et discriminant

Définition

Une équation différentielle de la forme

$y'' + ay' + by = 0 \qquad (a, b \in \mathbb{R})$

où l'inconnue est la fonction $y$, $y'$ sa dérivée première et $y''$ sa dérivée seconde, s'appelle équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants et sans second membre.

• L'équation, d'inconnue $r \in \mathbb{C}$,

$r^2 + ar + b = 0$

s'appelle l'équation caractéristique de $y'' + ay' + by = 0$.

• Le nombre

$\Delta = a^2 - 4b$

s'appelle le discriminant de l'équation caractéristique.

Le discriminant est celui du trinôme $r^2+ar+b$ :

$$\Delta=a^2-4b,$$

car le coefficient devant $r^2$ vaut $1$. Il ne faut pas confondre ce $b$ avec le coefficient usuel du terme en $r$ dans une formule générale de trinôme.