Exemple détaillé — Δ < 0 : y″ + y′ + y = 0

Exemple 2 — $\Delta < 0$

Résoudre $(E) : y'' + y' + y = 0$.

Équation caractéristique : $r^2 + r + 1 = 0$.

$\Delta = a^2 - 4b = 1^2 - 4\times 1 = -3 < 0$

L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

$r_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad r_2 = \overline{r_1} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ici $p = -\dfrac{1}{2}$ et $q = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Solution générale :

+ \beta\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,x\right)\right) e^{-\frac{1}{2}x} \qquad (\alpha, \beta \in \mathbb{R})$$