Exercice : résoudre deux équations du second ordre

Résous d’abord les deux équations sans consulter la correction. Pour chacune, écris explicitement $a$, $b$ et $\Delta$.

Exercice

Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. $(E_1) : y'' - 3y' + 2y = 0$
2. $(E_2) : y'' + 4y = 0$

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Correction

1. Équation caractéristique $r^2 - 3r + 2 = 0$, $\Delta = 9 - 8 = 1 > 0$. Racines $r_1 = 1$ et $r_2 = 2$ :

$f(x) = \alpha\,e^{x} + \beta\,e^{2x} \qquad (\alpha, \beta \in \mathbb{R})$

2. Équation caractéristique $r^2 + 4 = 0$ (ici $a = 0$, $b = 4$), $\Delta = 0 - 16 = -16 < 0$. Racines $r = \pm 2i$, donc $p = 0$ et $q = 2$ :

$f(x) = \alpha\cos(2x) + \beta\sin(2x) \qquad (\alpha, \beta \in \mathbb{R})$