Exemple complet : étude de uₙ₊₁ = √(6 + uₙ)

Voici maintenant toutes les étapes réunies dans un exemple complet. Repère explicitement : stabilité, récurrence, monotonie, convergence, point fixe.

Énoncé

On considère la fonction $f(x) = \sqrt{x + 6}$.

1. Donner le tableau de variation de $f$.
2. On considère l'intervalle $I = [0\,;3]$. Déterminer $f(I)$.
3. On considère la suite $(u_n)$ définie par : $\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n}\ ;\ n \geq 0 \end{cases}$
   • Montrer que $(\forall n \in \mathbb{N});\ 0 \leq u_n \leq 3$.
   • Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
   • La suite $(u_n)$ est-elle convergente ?
   • Écrire la suite $(u_n)$ en fonction de $f$ et de $u_n$.
4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Correction

1. Tableau de variation de $f$

On a $\displaystyle f'(x) = \big(\sqrt{x+6}\big)' = \frac{(x+6)'}{2\sqrt{x+6}} = \frac{1}{2\sqrt{x+6}} > 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

$f$ est donc strictement croissante sur $[-6\,;+\infty[$, avec $f(-6) = 0$.

2. Détermination de $f(I)$

$f$ est continue sur $D_f = [-6\,;+\infty[$, donc continue sur $I = [0\,;3]$.

$f$ étant croissante, l'image d'un intervalle par une fonction continue et croissante donne : $f(I) = f([0;3]) = [f(0)\,;f(3)] = [\sqrt{6}\,;3]$

Conclusion : $f(I) = [\sqrt{6}\,;3] \subset [0\,;3]$.

3. Étude de la suite $(u_n)$

a) Montrons que $(\forall n \in \mathbb{N});\ 0 \leq u_n \leq 3$ (par récurrence)

• Initialisation : pour $n = 0$, $0 \leq u_0 = 2 \leq 3$. La relation est vraie pour $n = 0$.
• Hérédité : on suppose $0 \leq u_n \leq 3$ (hypothèse de récurrence). On a : $0 \leq u_n \leq 3 \implies 6 \leq 6 + u_n \leq 9 \implies \sqrt{6} \leq \sqrt{6+u_n} \leq 3$ (car $x \mapsto \sqrt{x}$ est croissante), donc $\sqrt{6} \leq u_{n+1} \leq 3$, et a fortiori $0 \leq u_{n+1} \leq 3$.
• Conclusion : par le principe de récurrence, $(\forall n \in \mathbb{N});\ 0 \leq u_n \leq 3$.

b) Montrons que $(u_n)$ est croissante

On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ : $u_{n+1} - u_n = \sqrt{6+u_n} - u_n = \frac{6 + u_n - u_n^2}{\sqrt{6+u_n} + u_n} = \frac{(3 - u_n)(2 + u_n)}{\sqrt{6+u_n} + u_n}$

Le signe de cette expression est celui de $(3 - u_n)(2 + u_n)$, un polynôme du second degré en $u_n$ dont les racines sont $-2$ et $3$ : positif entre les racines.

Puisque $0 \leq u_n \leq 3$, on a $(3 - u_n) \geq 0$ et $(2 + u_n) \geq 0$, donc $(3-u_n)(2+u_n) \geq 0$, d'où $u_{n+1} - u_n \geq 0$.

Conclusion : la suite $(u_n)$ est croissante.

c) Convergence

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$, donc, d'après le critère de convergence, la suite $(u_n)$ est convergente.

d) On a, par définition : $(\forall n \in \mathbb{N});\ u_{n+1} = f(u_n)$.

4. Détermination de la limite

On a :

• $f$ est continue sur l'intervalle $I$,
• $f(I) = f([0;3]) \subset [0;3] = I$,
• $u_0 = 2 \in [0\,;3]$ (le premier terme),
• la suite $(u_n)$ est convergente (vers $\ell \in \mathbb{R}$).

Donc, d'après la propriété des suites récurrentes, $\ell$ est solution de l'équation $x \in I,\ f(x) = x$.

On résout $f(x) = x$ sur $I = [0;3]$ : $f(x) = x \iff \sqrt{x+6} = x \iff x + 6 = x^2 \iff -x^2 + x + 6 = 0 \iff (3-x)(x+2) = 0$

$\iff x = 3 \in [0;3] \quad \text{ou} \quad x = -2 \notin [0;3]$

D'où $\ell = 3 \in [0;3]$.

Conclusion : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.