Étape 3 : obtenir la monotonie

Deux approches fréquentes :

Différence

Étudie le signe de

$$u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n$$

en utilisant les bornes déjà prouvées.

Fonction croissante et induction

Si $f$ est croissante et si $u_1\geq u_0$, alors

$$u_2=f(u_1)\geq f(u_0)=u_1,$$

puis le raisonnement se répète.

L'intervalle stable vient avant la monotonie : il fournit souvent les signes nécessaires.