Suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ)

Définition

Soit une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ telle que $(\forall n \geq n_0);\ u_{n+1} = f(u_n)$, avec $f$ une fonction.

Si on a :

• $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$,
• $f(I) \subset I$,
• $u_{n_0} \in I$ (le premier terme),
• la suite $(u_n)$ est convergente (vers $\ell \in \mathbb{R}$),

alors $\ell$ est solution de l'équation $x \in I,\ f(x) = x$ (c'est-à-dire $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$).

Méthode générale pour étudier une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ :

1. Étudier les variations de $f$ (tableau de variation).
2. Montrer par récurrence que $(u_n)$ reste dans un intervalle $I$ stable par $f$ (c'est-à-dire $f(I) \subset I$).
3. Étudier la monotonie de $(u_n)$ (souvent via le signe de $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$).
4. Conclure à la convergence via le critère "monotone et bornée".
5. Résoudre $f(x) = x$ sur $I$ pour trouver la valeur de la limite.