Une récurrence est une machine répétée

Dans

$$u_{n+1}=f(u_n),$$

la même machine $f$ transforme chaque terme en son suivant :

$$u_0\xrightarrow{f}u_1\xrightarrow{f}u_2\xrightarrow{f}u_3\cdots$$

Trois questions se succèdent :

1. les termes restent-ils dans un intervalle sûr ?
2. se déplacent-ils toujours dans le même sens ?
3. vers quel point stable la machine peut-elle les conduire ?

Résoudre directement $f(x)=x$ ne répond qu'à la troisième question. Il faut d'abord prouver que la suite converge.