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La table de traduction complexe-géométrie

#nombres-complexes#geometrie-plane#lieux-geometriques#triangle#tableau

Construit sur :Exemple : prouver une orthogonalité

Tableau récapitulatif — traduire une relation complexe en géométrie

Relation complexe	Signification géométrique
L'ensemble des $M$ d'affixe $z$ tel que $\lvert z-z_A\rvert = \lvert z-z_B\rvert$	1. $AM = BM$ : $M$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$ .<br>2. L'ensemble des $M$ est la médiatrice du segment $[AB]$ .
$\lvert z-z_A\rvert = k$ ( $k>0$ )	1. $AM = k$ <br>2. $M$ appartient au cercle de centre $A$ et de rayon $k$ .
$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \left[r,\pm\dfrac{\pi}{2}\right] = re^{\pm i\pi/2}$	• Si $r \in \mathbb{R}^\setminus\{1\}$ alors $ABC$ est un triangle rectangle en $A$* .<br>• Si $r=1$ alors $ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $A$ .
$\left\lvert\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right\rvert = 1$	$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ .
$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \left[1,\pm\dfrac{\pi}{3}\right] = e^{\pm i\pi/3}$	$ABC$ est un triangle équilatéral.

Comment lire ce tableau : chaque ligne relie une équation algébrique portant sur les affixes à une propriété géométrique du lieu ou du triangle. C'est l'outil final qui permet, à partir d'une simple relation entre nombres complexes, de reconnaître directement la nature d'une figure (médiatrice, cercle, triangle rectangle/isocèle/équilatéral) sans passer par la construction.

Relation complexe

Signification géométrique

L'ensemble des

M

d'affixe

z

tel que

\lvert z-z_A\rvert = \lvert z-z_B\rvert

AM = BM

M

appartient à la médiatrice du segment

[AB]

.<br>2. L'ensemble des

M

est la médiatrice du segment

[AB]

\lvert z-z_A\rvert = k

(

k>0

)

AM = k

<br>2.

M

appartient au cercle de centre

A

et de rayon

k

\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \left[r,\pm\dfrac{\pi}{2}\right] = re^{\pm i\pi/2}

• Si

r \in \mathbb{R}^*\setminus\{1\}

alors

ABC

est un triangle rectangle en $A$ .<br>• Si

r=1

alors

ABC

est un triangle rectangle et isocèle en $A$ .

\left\lvert\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right\rvert = 1

ABC

est un triangle isocèle en $A$ .

\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} = \left[1,\pm\dfrac{\pi}{3}\right] = e^{\pm i\pi/3}

ABC

est un triangle équilatéral.