Distances et angles orientés

Propriété

$A$, $B$, $C$, $D$ et $I$ sont cinq points du plan complexe tels que leurs affixes sont $z_A$, $z_B$, $z_C$, $z_D$ et $z_I$.

$\lVert\overrightarrow{AB}\rVert = AB = |z_B-z_A| \qquad\qquad \text{mesure de } (\vec u,\overrightarrow{AB}) \text{ est } (\vec u,\overrightarrow{AB}) \equiv \arg(z_B-z_A)\ [2\pi]$

$z_I = \frac{z_A+z_B}{2} \text{ affixe du milieu de } [AB]$

$\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB} \iff z_C-z_A = k(z_B-z_A) \iff \frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=k\in\mathbb{R} \ (A\neq B)$

$\text{mesure de } (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) \text{ est } (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}) \equiv \arg\!\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)\ [2\pi]$

$Z_{\vec u} \text{ et } Z_{\vec v} \text{ affixes des vecteurs } \vec u \text{ et } \vec v: \quad (\vec u,\vec v) \equiv \arg(Z_{\vec v})-\arg(Z_{\vec u})\ [2\pi] \quad\text{ou}\quad (\vec u,\vec v) \equiv \arg\!\left(\frac{Z_{\vec v}}{Z_{\vec u}}\right)\ [2\pi]$