Alignement et cocyclicité : reconnaître un quotient réel

Alignement de trois points

$A$, $B$ et $C$ sont alignés équivaut à : $\left(\arg\!\left(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right) \equiv \pi\ [2\pi]\right) \quad\text{ou}\quad \left(\arg\!\left(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right) \equiv 0\ [2\pi]\right)$

Remarque : $\left(\arg\!\left(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right) \equiv 0\ [2\pi] \text{ ou } \equiv \pi\ [2\pi]\right)$ équivaut à $\arg\!\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right) \equiv 0\ [\pi]$.

Cocyclicité et alignement de quatre points

$A$, $B$, $C$ et $D$ sont alignés ou cocycliques équivaut à : $\frac{z_D-z_A}{z_B-z_A}\times\frac{z_B-z_C}{z_D-z_C} \in \mathbb{R}$

Parallélisme et perpendicularité

$(AB)\parallel(CD) \iff \arg\!\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)\equiv\pi\ [2\pi] \text{ ou } \equiv 0\ [2\pi] \iff \arg\!\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)\equiv 0\ [\pi]$

$(AB)\perp(CD) \iff (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})\equiv\frac{\pi}{2}\ [\pi] \iff \arg\!\left(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)\equiv\frac{\pi}{2}\ [\pi]$

Le choix des différences est important. Pour un alignement, les deux vecteurs doivent partir du même point. Pour une cocyclicité, les deux angles inscrits doivent intercepter la même corde.