Équation guidée : produit nul de logarithmes

Exercice

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :

$$\log_3(2x)\times\big(\log_5(x)-1\big) = 0$$

Étape 1 — Domaine de définition.

$$x \in D_E \iff 2x > 0 \text{ et } x > 0 \iff x > 0 \iff x \in \,]0,+\infty[$$

Donc $D_E = \,]0,+\infty[$.

Étape 2 — Résolution dans $D_E = \,]0,+\infty[$.

$$\log_3(2x)\times\big(\log_5(x)-1\big) = 0 \iff \log_3(2x) = 0 \; \text{ ou } \; \log_5(x) - 1 = 0$$ $$\iff \log_3(2x) = \log_3(1) \; \text{ ou } \; \log_5(x) = 1$$ $$\iff 2x = 1 \; \text{ ou } \; x = 1$$ $$\iff x = \dfrac{1}{2} \in D_E \; \text{ ou } \; x = 1 \in D_E$$

Conclusion : l'ensemble des solutions de l'équation est $S = \left\{\dfrac{1}{2}, 1\right\}$.