Étude complète de $\log_a x$ dans les deux cas

Étude de la fonction $f(x) = \log_a(x)$, avec $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}$

• Domaine de définition : $x \in D_f \iff x > 0$, d'où $D_f = \,]0,+\infty[$.
• Continuité : $f$ est continue sur $]0,+\infty[$.
• Limites aux bornes de $D_f$ :

$$\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty}\log_a(x) = \lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)} = \begin{cases} +\infty & \text{si } a \in \,]1,+\infty[ \\ -\infty & \text{si } a \in \,]0,1[ \end{cases}$$ $$\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+}\log_a(x) = \lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)} = \begin{cases} -\infty & \text{si } a \in \,]1,+\infty[ \\ +\infty & \text{si } a \in \,]0,1[ \end{cases}$$

• Sens de variation :

Dérivée : $f'(x) = \big(\log_a(x)\big)' = \left[\dfrac{\ln(x)}{\ln(a)}\right]' = \dfrac{1}{\ln a}(\ln x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$. D'où :

$$\big(\log_a(x)\big)' = \dfrac{1}{x\ln a}$$ $$f'(x) \begin{cases} \geq 0 & \text{si } a \in \,]1,+\infty[ \\ \leq 0 & \text{si } a \in \,]0,1[ \end{cases}$$

Tableau de variations

Cas $a \in \,]1,+\infty[$ :

Cas $a \in \,]0,1[$ :

Dans les tableaux, la dérivée est strictement positive si $a>1$ et strictement négative si $0<a<1$.