Deux méthodes de calcul de limites

Exemples

Exemple 1

Calculer

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}x.$$

Méthode 1 — factoriser

$$\frac{e^{2x}}x =e^x\frac{e^x}{x}.$$

Les deux facteurs tendent vers $+\infty$, donc

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2x}}x=+\infty.$$

Méthode 2 — changer de variable

Posons $t=2x$. Alors $t\to+\infty$ et

$$\frac{e^{2x}}x =2\frac{e^{2x}}{2x} =2\frac{e^t}{t}.$$

Ainsi la limite vaut $+\infty$.

Exemple 2

$$\frac{e^x+2x}{x^3} =\frac{e^x}{x^3}+\frac2{x^2}.$$

Comme

$$\frac{e^x}{x^3}\to+\infty \qquad\text{et}\qquad \frac2{x^2}\to0,$$

on obtient

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+2x}{x^3}=+\infty.$$

Méthode. Factorise ou change de variable pour faire apparaître une limite de référence ; ne saute jamais le facteur créé par le changement de variable.