Théorème : limites de référence

Limites de référence

Limites de la fonction exponentielle

$$\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+, \qquad \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty.$$

Théorème de croissance comparée

Pour tout entier $n\in\mathbb N^*$ :

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty,$$ $$\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0.$$

En particulier :

$$\lim_{x\to-\infty}xe^x=0^-.$$

Limite au voisinage de zéro

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1.$$

Cette dernière égalité est le nombre dérivé de $x\mapsto e^x$ en $0$, car $e^0=1$.

Attention. Une forme telle que $\infty/\infty$ ou $0\times\infty$ est indéterminée. La valeur de la limite se déduit d’une limite de référence ou d’une transformation algébrique.