Premières équations, inéquations et domaines

Utilise toujours cet ordre :

1. vérifier le domaine ;
2. isoler l’exponentielle ;
3. appliquer $\ln$ ou comparer les exposants ;
4. annoncer l’ensemble des solutions.

Exemples

Exemple 1.

$$e^x - 3 = 0 \iff e^x = 3 \iff x = \ln 3$$

Exemple 2.

$$e^{\ln(24)} = 24 \qquad \text{et} \qquad \ln\left(e^{-13}\right) = -13$$

Exemple 3 — Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x+3} = e^{2x+7}$.

$$e^{x+3} = e^{2x+7} \iff x + 3 = 2x + 7 \iff x = -4$$

Ensemble des solutions : $S = \{-4\}$.

Exemple 4 — Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{x+1} < e^{6x-2}$.

$$e^{x+1} < e^{6x-2} \iff x + 1 < 6x - 2 \iff -5x < -3 \iff x > \dfrac{3}{5}$$

Ensemble des solutions : $S = \left]\dfrac{3}{5}, +\infty\right[$.

Exemple 5 — Ensembles de définition de $f(x) = \dfrac{2}{e^x}$ et $g(x) = \sqrt{e^x}$.

• $x \in D_f \iff e^x \neq 0$, ce qui est toujours vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$ car $e^x > 0$. Donc $D_f = \mathbb{R}$.
• $x \in D_g \iff e^x \geq 0$, ce qui est toujours vrai pour tout $x \in \mathbb{R}$ car $e^x > 0$. Donc $D_g = \mathbb{R}$.

⚠️ Erreur fréquente Ne confonds pas « $e^x \neq 0$ toujours vrai » avec une condition à vérifier : comme $e^x$ ne s'annule jamais, ce genre de contrainte ne restreint jamais le domaine de définition.