Propriétés déduites de la réciprocité

Toutes les propriétés de cette carte viennent d’une seule idée :

$$\ln\ \text{et}\ \exp\ \text{sont réciproques}.$$

Conséquences

• La fonction exponentielle népérienne $f^{-1} = \exp$ (ou $e$) est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et les courbes de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d'équation $(D) : y = x$).

• Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$\exp(x) > 0$$

• Relation entre $f(x) = \ln(x)$ et $f^{-1}(x) = \exp(x)$ :

$$\exp(x) = y \iff \begin{cases} x = \ln(y) \\ y > 0 \end{cases}$$

• Comme $f^{-1}\circ f(x) = x$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$ :

$$\forall x \in ]0, +\infty[, \quad \exp(\ln(x)) = x$$

• Comme $f\circ f^{-1}(x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \ln(\exp(x)) = x$$

🔑 Idée clé $\ln$ et $\exp$ « s'annulent » l'une l'autre lorsqu'on les compose, dans le bon ordre et sur le bon ensemble de départ. C'est la définition même d'une fonction réciproque.