Pourquoi exp(x) s’écrit eˣ

Pour les exposants rationnels, la notation usuelle $e^r$ existe déjà. La fonction réciproque coïncide avec cette notation ; la continuité permet d’utiliser la même écriture pour tout réel.

Nouvelle notation

On sait que :

$$(1): \quad \forall r \in \mathbb{Q}, \quad r = \ln(e^r)$$

D'où :

$$(1) \iff \forall r \in \mathbb{Q}, \quad \exp(r) = \exp(\ln(e^r)) \iff \forall r \in \mathbb{Q}, \quad \exp(r) = e^r$$

On obtient donc :

$$\forall r \in \mathbb{Q}, \quad \exp(r) = e^r$$

Par conséquent, on prolonge ce résultat à tous les nombres réels $x$, d'où la nouvelle notation :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \quad \exp(x) = e^x$$

Donc finalement :

$$f^{-1} = \exp : \mathbb{R} \to \; ]0, +\infty[, \qquad x \mapsto f^{-1}(x) = \exp(x) = e^x$$

📌 À retenir À partir de maintenant, on écrira systématiquement $e^x$ au lieu de $\exp(x)$. C'est cette notation qui sera utilisée dans tout le reste du cours.