Le problème mathématique : résoudre ln(y)=x

Soit $x\in\mathbb R$. Nous cherchons un nombre $y>0$ qui vérifie

$$\ln y=x.$$

La fonction logarithme népérien

$$\ln: ]0,+\infty[\longrightarrow\mathbb R$$

est continue, strictement croissante et son image est $\mathbb R$. Elle est donc bijective. Par conséquent, pour chaque réel $x$, l’équation $\ln y=x$ possède une unique solution $y>0$.

Cette solution est notée $\exp(x)$. On définit ainsi la fonction exponentielle népérienne :

$$\exp:\mathbb R\longrightarrow]0,+\infty[.$$

Exemples immédiats :

$$\ln 1=0\Longrightarrow \exp(0)=1, \qquad \ln e=1\Longrightarrow \exp(1)=e.$$