Exemple détaillé : un déterminant non nul

Soient $\vec{u}(1,2,3)$, $\vec{v}(-2,0,1)$ et $\vec{w}(1,0,3)$.

En developpant selon la premiere colonne :

\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1\\ 2 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 1 & 3 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} -2 & 1\\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} -2 & 1\\ 0 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= 1\times 0 - 2\times(-7) + 3\times 0 = 14$$ **Conclusion.** $\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=14\neq 0$ : les trois vecteurs ne sont pas coplanaires, ils forment donc une **base** de l'espace $(\mathcal{E})$.