Définition du déterminant de trois vecteurs

Soient $\vec{u}(x,y,z)$, $\vec{v}(x',y',z')$ et $\vec{w}(x'',y'',z'')$ trois vecteurs de l'espace $(\mathcal{E})$ rapportes a une base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.

Le determinant de $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ (dans cet ordre) est le nombre :

\begin{vmatrix} x & x' & x''\\ y & y' & y''\\ z & z' & z'' \end{vmatrix} = x\begin{vmatrix} y' & y''\\ z' & z'' \end{vmatrix} - y\begin{vmatrix} x' & x''\\ z' & z'' \end{vmatrix} + z\begin{vmatrix} x' & x''\\ y' & y'' \end{vmatrix}$$ $$=(xy'z''-xz'y'')+(-yx'z''+yz'x'')+(zx'y''-zy'x'')$$ **Propriete.** $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont **coplanaires** si et seulement si $\det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=0$.