Méthode : lever une forme 0/0 par factorisation

Calculons :

$$\lim_{x\to1}\frac{3x^2-x}{2x^3+2x-4}.$$

La substitution donne $\frac20$, et non $\frac00$ : on étudie donc le signe du dénominateur. Comme

$$2x^3+2x-4=2(x-1)(x^2+x+2)$$

et $x^2+x+2>0$, le signe dépend de $x-1$.

Ainsi :

$$\lim_{x\to1^-}\frac{3x^2-x}{2x^3+2x-4}=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac{3x^2-x}{2x^3+2x-4}=+\infty.$$

Les deux côtés diffèrent : la limite en $1$ n'existe pas.

Leçon. Avant de parler de F.I., calcule correctement le numérateur et le dénominateur séparément.