Exercice complet : étudier 3 puissance x³−x

Avant de lire la correction, prépare trois lignes :

$$3^{u(x)}=e^{u(x)\ln3},$$ $$\lim u(x)\ln3,$$ $$\left(3^{u(x)}\right)'=u'(x)\ln3\cdot3^{u(x)}.$$

Exercice résolu

Soit $f(x) = 3^{x^3 - x}$.

1. Écrire $f$ en fonction de la fonction exponentielle népérienne.
2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
3. Calculer $f'$, la fonction dérivée de $f$.

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Correction

1. Écriture de $f$

$$f(x) = 3^{x^3 - x} = e^{(x^3-x)\ln 3}$$

2. Les limites

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} e^{(x^3-x)\ln 3} = +\infty \quad \text{car} \quad \lim_{x\to+\infty}(x^3-x)\ln 3 = +\infty \; \text{et} \; \lim_{t\to+\infty} e^t = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} e^{(x^3-x)\ln 3} = 0 \quad \text{car} \quad \lim_{x\to-\infty}(x^3-x)\ln 3 = -\infty \; \text{et} \; \lim_{t\to-\infty} e^t = 0$$

3. Dérivée

$$f'(x) = \left(e^{(x^3-x)\ln 3}\right)' = \left[(x^3-x)\ln 3\right]' \times e^{(x^3-x)\ln 3} = \left(3x^2-1\right)\ln 3 \times e^{(x^3-x)\ln 3}$$

💡 Méthode C'est le même schéma à chaque fois avec $a^{u(x)}$ :

1. Réécrire $a^{u(x)} = e^{u(x)\ln a}$.
2. Étudier la limite de l'exposant $u(x)\ln a$, puis composer avec $\displaystyle\lim_{t\to\pm\infty} e^t$.
3. Dériver avec $\left[e^{v(x)}\right]' = v'(x) e^{v(x)}$ où $v(x) = u(x)\ln a$.