Dérivée et sens de variation de aˣ

Partons toujours de

$$a^x=e^{x\ln a}.$$

La dérivée et le sens de variation deviennent alors des conséquences du signe de $\ln a$.

Conséquences — Étude de $f(x) = a^x$

Soit $a \in \; ]0,1[ \, \cup \, ]1,+\infty[$ et $f(x) = a^x = e^{x\ln a}$.

1. La fonction $f$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$.

2. Sa dérivée :

$$[f(x)]' = (a^x)' = (\ln a) \times e^{x\ln a} = (\ln a) \times a^x$$

3. D'où le signe de $[f(x)]' = (\ln a)\, a^x$ est le signe de $\ln a$ (car $a^x > 0$) :

• Si $0 < a < 1$ : $\ln a < 0$, donc $f(x) = a^x = e^{x\ln a}$ est strictement décroissante. D'où :

$$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \quad a^x < a^y \iff x > y$$

• Si $a > 1$ : $\ln a > 0$ donc $f(x) = a^x = e^{x\ln a}$ est strictement croissante. D'où :

$$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \quad a^x < a^y \iff x < y$$

⚠️ Erreur fréquente Le sens de variation de $x \mapsto a^x$ dépend de la position de $a$ par rapport à $1$ : croissante si $a > 1$, décroissante si $0 < a < 1$. Contrairement à $e^x$ (toujours croissante, car $e > 1$), il faut ici systématiquement regarder le signe de $\ln a$.