Définir aˣ à partir de l’exponentielle népérienne

Les expressions

$$2^x,\qquad10^x,\qquad\left(\frac12\right)^x$$

ressemblent à $e^x$, mais leur base change.

L’idée décisive est de les ramener à la fonction déjà connue :

$$a^x=e^{x\ln a} \qquad(a>0).$$

Tout le chapitre sur $a^x$ découle alors de deux questions :

1. quel est le signe de $\ln a$ ?
2. vers quoi tend $x\ln a$ ?

Toutes les propriétés de $a^x$ se déduisent de l’égalité $a^x=e^{x\ln a}$ et du signe de $\ln a$.