Théorème : intersection d’une sphère et d’une droite

La comparaison avec la distance $d(\Omega,(D))$ suit la même logique que pour un plan, mais l’intersection sécante contient deux points.

Soient une sphere $(S)=S(\Omega,R)$ et une droite $(D)$. On note $H$ le projete orthogonal de $\Omega$ sur $(D)$ et $\Omega H$ la distance de $\Omega$ a la droite.

• 1er cas : $\Omega H>R$. Alors $(D)\cap(S)=\varnothing$ : la droite et la sphere sont disjointes.

• 2e cas : $\Omega H=R$. Alors $(D)\cap(S)=\{H\}$ : la droite et la sphere sont tangentes en $H$, avec $(H\Omega)\perp(D)$.

• 3e cas : $\Omega H<R$. Alors $(D)\cap(S)=\{A,B\}$ : la droite coupe la sphere en deux points $A$ et $B$ (deux points, mais pas le segment $[AB]$).

Remarque. $H$ est le projete orthogonal de $\Omega$ sur $(D)$. Si $(D)=D(K,\vec{u})$, alors $\Omega H=\frac{\big\|\vec{K\Omega}\wedge\vec{u}\big\|}{\|\vec{u}\|}$ (voir le chapitre sur le produit vectoriel).