Propriétés de calcul et identités remarquables

Ces propriétés autorisent exactement les mêmes développements qu’en algèbre, à condition de conserver le symbole $\cdot$ entre deux vecteurs.

Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l'espace $(\mathcal{E})$ et $\alpha\in\mathbb{R}$.

1. $\vec{u}^{\,2}=\|\vec{u}\|^{2}$.

2. Symetrie : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$.

3. Positivite : $\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{u}^{\,2}\ge 0$.

4. Non degenerescence : $\vec{u}\cdot\vec{u}=0\iff \vec{u}=\vec{0}$.

5. Linearite : $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$ $(\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}=\vec{v}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{u}$ $\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})=(\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\alpha\,(\vec{u}\cdot\vec{v})$

6. Identites remarquables : $(\vec{u}+\vec{v})^{2}=\vec{u}^{\,2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{\,2}$ $(\vec{u}-\vec{v})^{2}=\vec{u}^{\,2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^{\,2}$ $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\vec{u}^{\,2}-\vec{v}^{\,2}$

Par exemple,

$$\vec u\cdot(2\vec v-\vec w)=2\vec u\cdot\vec v-\vec u\cdot\vec w.$$

On ne multiplie pas deux vecteurs comme deux nombres : le produit scalaire produit un réel.