Définition géométrique par projection orthogonale

On projette $C$ sur $(AB)$ en $H$. La longueur $AH$ est prise positivement ou négativement selon le sens de $\vec{AH}$ par rapport à $\vec{AB}$.

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace $(\mathcal{E})$. On considere trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AC}$, et on note $H$ le projete orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$.

Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est note $\vec{u}\cdot\vec{v}$ ou $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$. C'est le nombre reel defini par :

1er cas — l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu ($\vec{AH}$ et $\vec{AB}$ ont le meme sens) : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AH$

2e cas — l'angle $\widehat{BAC}$ est obtus ($\vec{AH}$ et $\vec{AB}$ ont des sens contraires) : $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{AB}\cdot\vec{AC}=-AB\times AH$

Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

À retenir. La projection explique le signe, tandis que la formule avec le cosinus sera souvent plus rapide dans les calculs.