Exercice guidé : y′ = 2y − 6 avec f(0) = 1

Essaie d’abord sans lire la correction. Écris au minimum les lignes « $a=\cdots$, $b=\cdots$ », puis la solution générale.

Exercice

On considère l'équation différentielle $(E) : y' = 2y - 6$.

1. Donner la solution générale de $(E)$.
2. Déterminer la solution qui vérifie $f(0) = 1$.

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Correction

1. Ici $a = 2$ et $b = -6$, donc :

$f(x) = \alpha\,e^{2x} - \frac{-6}{2} = \alpha\,e^{2x} + 3 \qquad (\alpha \in \mathbb{R})$

2. $f(0) = 1 \iff \alpha\,e^{0} + 3 = 1 \iff \alpha = -2$. D'où :

$f(x) = -2\,e^{2x} + 3$

Vérification : $f'(x) = -4e^{2x}$ et $2f(x) - 6 = 2(-2e^{2x}+3) - 6 = -4e^{2x}$. ✓