Construire la formule générale, étape par étape

Pour $a\neq0$, partons de

$$y'=ay+b.$$

On retire la solution constante en posant

$$z=y+\frac ba.$$

Comme $\dfrac ba$ est constant, $z'=y'$. Puis

$$z'=ay+b=a\left(y+\frac ba\right)=az.$$

Donc $z(x)=\alpha e^{ax}$. En revenant à $y$ :

$$y=z-\frac ba =\alpha e^{ax}-\frac ba.$$

La formule n’est donc pas à deviner : elle vient de l’équation simple $z'=az$.