Condition initiale : une seule courbe passe par le point donné

Théorème d’existence et d’unicité

Soient $a,b,x_0,y_0$ réels. Il existe une unique solution $f$ de

$$y'=ay+b$$

qui vérifie

$$f(x_0)=y_0.$$

La condition initiale fixe la constante $\alpha$. Pour $a\neq0$ :

$$y_0=\alpha e^{ax_0}-\frac ba \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\left(y_0+\frac ba\right)e^{-ax_0}.$$

Le résultat reste vrai lorsque $a=0$ : la condition initiale fixe alors la constante de la fonction affine $bx+\alpha$.