Théorème : toutes les solutions de y′ = ay + b

Propriété

Soit l'équation différentielle $(E) : y' = ay + b$, avec $a$ et $b$ réels.

Cas général ($a \neq 0$). L'ensemble des solutions de $(E)$ est formé des fonctions de la forme :

$f(x) = \alpha\,e^{ax} - \frac{b}{a} \qquad (\alpha \in \mathbb{R})$

Cas particulier 1 ($a = 0$ et $b = 0$). L'équation $(E)$ est $y' = 0$ ; les solutions sont les fonctions constantes :

$f(x) = c \qquad (c \in \mathbb{R})$

Cas particulier 2 ($a = 0$ et $b \neq 0$). L'équation $(E)$ est $y' = b$ ; les solutions sont les fonctions affines :

$f(x) = bx + \alpha \qquad (\alpha \in \mathbb{R})$

La première décision est toujours de regarder si $a=0$.

Lorsque $a=b=0$, la deuxième ligne donne bien $f(x)=\alpha$, une fonction constante.