Théorème des gendarmes et lemme d'encadrement

Théorème des gendarmes

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle $I$, et $k$ un réel.

Si $(\forall x \in I);\ g(x) \leq f(x) \leq h(x)$

et $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = k$,

alors : $\lim_{x \to a} f(x) = k$

Lemme (encadrement de $|f(x) - k|$)

Si $(\forall x \in I);\ |f(x) - k| \leq g(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = 0$,

alors : $\lim_{x \to a} f(x) = k$

Ce lemme est très utile lorsqu'on doit démontrer un encadrement de la forme $\left|f(x) - \dfrac{1}{2}\right| \leq \dfrac{1}{x^2}$ pour en déduire une limite.