Théorème : linéarité de l’intégrale

Linéarité

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a,b]$. On a :

$\int_a^b (f + g)(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$

$\int_a^b \alpha\,f(x)\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx \qquad (\alpha \in \mathbb{R})$

En combinant les deux formules, pour tous réels $\alpha,\beta$ :

$$\int_a^b\big(\alpha f(x)+\beta g(x)\big)\,dx =\alpha\int_a^b f(x)\,dx +\beta\int_a^b g(x)\,dx.$$

La linéarité fonctionne pour une somme et pour un facteur constant. Elle ne permet pas de séparer un produit $f(x)g(x)$.