Exemple guidé : Chasles avec une valeur absolue

La racine de $x-1$ est $1$. C’est donc à $x=1$ qu’il faut découper l’intervalle.

Exemples

$\int_5^5 \big(x^2 - 2x\big)\,dx = 0$

$\int_0^1 \big(x^2 - 2x\big)\,dx = -\int_1^0 \big(x^2 - 2x\big)\,dx$

Avec une valeur absolue :

$\int_0^3 |x-1|\,dx = \int_0^1 |x-1|\,dx + \int_1^3 |x-1|\,dx$

car $|x-1| = 1 - x$ sur $[0,1]$ et $|x-1| = x - 1$ sur $[1,3]$ :

= \left[x - \tfrac{1}{2}x^2\right]_0^1 + \left[\tfrac{1}{2}x^2 - x\right]_1^3$$ $$= \tfrac{1}{2} + \left(\tfrac{3}{2} - \left(-\tfrac{1}{2}\right)\right) = \tfrac{5}{2}$$ Contrôle utile : le résultat est positif, comme doit l’être l’intégrale d’une fonction positive telle que $|x-1|$.